抗不安薬と抗うつ薬の違いはありますか？

最近、「抗不安薬」と「抗うつ薬」という2つの用語に出くわしました。

確かに、「不安」は「うつ」と同じではありませんが、これらの薬の「効果」は大きく異なるのでしょうか？

例えば、クロロジアゼポキシドは抗不安薬に分類され、フェネルジンは抗うつ薬に分類されています。患者Aにはクロロジアゼポキシドが処方され、Bには別の医師からフェネルジンが処方されたとします。アレルギー反応の可能性や、どちらの薬に対しても過敏症であることが知られている場合を除いて、お互いの薬を服用して、多かれ少なかれ同じ効果を期待することはできますか？例えば、Aはフェネルジンを服用し、Bはクロロジジアゼポキシドを服用する。